Regresi Data Panel: Apa yang Harus Dilakukan Ketiga Asumsi Terlanggar (lanjutan)

Dalam tulisan sebelumnnya, saya telah membahas sedikit mengenai apa yang harus dilakukan jika terjadi pelanggaran asumsi saat kita bekerja dengan model regresi. Pada tulisan kali ini, saya akan membahas lebih jauh perihal persoalan tersebut  dalam konteks model regresi dengan menggunakan data panel  atau longitudinal data. 

Sebelum masuk ke pembahasan regresi data panel, ada baiknya jika saya mengulas sedikit lebih jauh mengenai dua langkah yang dapat kita ambil untuk berdamai dengan pelanggaran asumsi sebagaimana telah saya sebutkan sebelumnya, yakni estimasi dengan Generalized Least Squares (GLS) dan penggunaan Robust Standard Error.

Generalized  Least  Squares (GLS)

Varian lain dari metode least squares adalah Generalized  Least  Squares (GLS). Metode ini digunakan ketika asumsi-asumsi  yang disyaratkan oleh metode OLS (homokedastis dan nonautokorelasi) tidak terpenuhi. Sebagaimana telah saya sebutkan sebelumnnya, penggunaan OLS pada kondisi seperti ini akan menghasilkan penduga parameter regresi yang tidak lagi efisien dan dapat memberikan penarikan kesimpulan (inferensi) yang menyesatkan.

Jika semua asumsi yang disyaratkan terkait residual dalam metode OLS terpenuhi, matriks varian-kovarian residual merupakan matriks diagonal dengan element pada diagonal utama konstan (σ²). Dalam notasi matriks dapat dituliskan sebagai berikut:

                                                       Ω = σ²I ................................(1)
Pada kondisi seperti ini, penduga OLS yang bersifat BLUE bagi parameter regresi adalah 

    b = (X’X)^-1 X’y^{..................}(2)

Jika terjadi pelanggaran asumsi (terjadi heterokedastisitas dan atau autokorelasi), struktur matriks dari Ω tidak lagi seperti pada persamaan (1), melainkan bervariasi bergantung pada jenis pelanggaran asumsi yang terjadi, yakni apakah terjadi heterokedastisitas tanpa autokorelasi, homoskedastis tetapi terjadi autokorelasi, atau terjadi heterokedastisitas sekaligus autokorelasi. Ketiga kemungkinan ini akan menghasilkan struktur matriks yang berbeda-beda. Dengan lain perkataan, struktur matriks  lebih umum atau general jika dibandingkan dengan kondisi dimana asumsi homokedastis dan nonautokorelasi terpenuhi. Penduga GLS bagi parameter regresi mengakomodasi struktur matriks yang berbeda-beda tersebut ke dalam teknik estimasi. Dan secara matematis, formula untuk menduga parameter regresi dengan metode GLS dapat dituliskan sebagai berikut: 

                 b = (X’ Ω^-1 X)^-1 X’ Ω^-1y.....................(3)

Penduga parameter yang diperoleh dari persamaan (3) juga bersifat BLUE. Bisa Anda lihat, pada persamaan (3) matriks Ω hadir dalam formula yang digunakan, tidak seperti halnya pada persamaan (2). Dan inilah yang saya maksud dengan “mengakomadasi” atau “berdamai” dengan pelanggaran asumsi yang terjadi.

Weighted Least Squares (WLS)

Terkait struktur matriks Ω yang mungkin ketika terjadi pelanggaran asumsi, salah satu kasus khusus dari GLS adalah kondisi dimana terjadi heterokedastisitas dan nonautokorelasi. Pada kondisi ini, element pada diogonal utama matriks Ω  tidak lagi konstan  seperti pada persamaan (1) (σi²).

Disebut weighted least square karena pada metode ini digunakan "weight" atau pembobot yang proporsional terhadap inverse(kebalikan) dari varians variabel respon sehingga diperoleh residual baru yang memiliki sifat seperti pada regresi dengan OLS. Formula yang digunakan untuk mengestimasi parameter regresi dengan metode ini adalah sebagai berikut:

                                                        b = (X’ V^-1 X)^-1 X’ V^-1y..................(4)

dimana matriks V^-1 adalah matriks diagonal dengan element pembobot (w_i) pada diagonal utama. Karena itu,  matriks ini disebut matriks pembobot.

Dalam paraktek, pembobot adalah nilai-nilai populasi yang tidak diketahui secara langsung sehingga harus diestimasi berdasarkan data sampel. Dan pertanyaan penting terkait hal ini adalah bagaimana cara memperoleh pembobot yang benar-benar memuaskan. Jawaban akan pertanyaan ini telah dibahas dalam berbagai buku teks ekonometrika. Software-software statistik telah memberikan fasilitas kepada kita untuk menentukan pembobot ketika kita bekerja dengan WLS.
Note: Jika terjadi heterokedastisitas, WLS dapat digunakan sebagai solusi.

Feasible Generalized Least Square (FGLS)

Dalam praktek, element-element dari matriks Ω adalah nilai-nilai populasi yang tidak dapat diketahui  secara langsung sehingga perlu diestimasi. Kondisi ini menyebabkan formula pada persamaan (2) tidak lagi feasible atau tidak dapat digunakan dalam praktek. Karena itu, element-element dari matriks Ω diestimasi berdasarkan residual yang diperoleh dari teknik OLS.Terkadang dilakukan iterasi untuk memperoleh penduga yang benar-benar efisien.